Ejercicios Funciones

Ejercicios Funciones#

Ejercicio 1
Calcule estos valores:

  1. \(\lfloor 1.1 \rfloor\)

  2. \(\lceil 1.1 \rceil\)

  3. \(\lfloor -0.1 \rfloor\)

  4. \(\lceil -0.1 \rceil\)

  5. \(\lceil 2.99 \rceil\)

  6. \(\lceil -2.99 \rceil\)

  7. \(\left\lfloor \frac{1}{2} + \lceil \frac{1}{2} \rceil \right\rfloor\)

  8. \(\left\lceil \lfloor \frac{1}{2} \rfloor + \lceil \frac{1}{2} \rceil + \frac{1}{2} \right\rceil\)

Ejercicio 2
Calcule estos valores:

  1. \(\lceil \frac{3}{4} \rceil\)

  2. \(\lfloor \frac{7}{8} \rfloor\)

  3. \(\lceil -\frac{3}{4} \rceil\)

  4. \(\lfloor -\frac{7}{8} \rfloor\)

  5. \(\lceil 3 \rceil\)

  6. \(\lfloor -1 \rfloor\)

  7. \(\left\lfloor \frac{1}{2} + \lceil \frac{3}{2} \rceil \right\rfloor\)

  8. \(\left\lfloor \frac{1}{2} \cdot \lfloor \frac{5}{2} \rfloor \right\rfloor\)

Ejercicio 3
Sea \(S = \{-1, 0, 2, 4, 7\}\). Halle \(f(S)\) si:

  1. \(f(x) = 1\)

  2. \(f(x) = 2x + 1\)

  3. \(f(x) = \left\lceil \frac{x}{5} \right\rceil\)

  4. \(f(x) = \left\lfloor \frac{x^2 + 1}{3} \right\rfloor\)

Ejercicio 4
Sea \(f(x) = \left\lfloor \frac{x^2}{3} \right\rfloor\). Halle \(f(S)\) si:

  1. \(S = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\)

  2. \(S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\)

  3. \(S = \{1, 5, 7, 11\}\)

  4. \(S = \{2, 6, 10, 14\}\)

Ejercicio 5
Sea \(f(x) = 2x\). ¿Cuáles son?

  1. \(f(\mathbb{Z})\)

  2. \(f(\mathbb{N})\)

  3. \(f(\mathbb{R})\)

Ejercicio 6
Suponga que \(g\) es una función de \(A\) en \(B\) y \(f\) es una función de \(B\) en \(C\).

  1. Demuestre que si tanto \(f\) como \(g\) son funciones inyectivas entonces \(f \circ g\) también lo es.

  2. Demuestre que si tanto \(f\) como \(g\) son funciones sobreyectivas, entonces \(f \circ g\) también lo es.

Ejercicio 7
Demuestre que si \(f \circ g\) es inyectiva entonces \(g\) es inyectiva.

Ejercicio 8
Calcule \(f \circ g\) y \(g \circ f\) donde \(f(x) = x^2 + 1\) y \(g(x) = x + 2\) son funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\).

Ejercicio 9
Sean \(f(x) = ax + b\) y \(g(x) = cx + d\), donde \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\) son constantes. Determine para qué valores se cumple que \(f \circ g = g \circ f\).

Ejercicio 10
Demuestre que la función \(f(x) = ax + b\) de \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\) es invertible, donde \(a \ne 0\), y halle la función inversa de \(f\).

Ejercicio 11
Sea \(f\) la función del conjunto \(A\) en el conjunto \(B\). Sean \(S\) y \(T\) subconjuntos de \(A\). Demuestre que:

  1. \(f(S \cup T) = f(S) \cup f(T)\)

  2. \(f(S \cap T) \subseteq f(S) \cap f(T)\)

Ejercicio 12
Sea \(f\) una función de \(A\) en \(B\), y sean \(S\) y \(T\) subconjuntos de \(B\). Demuestre que:

  1. \(f^{-1}(S \cup T) = f^{-1}(S) \cup f^{-1}(T)\)

  2. \(f^{-1}(S \cap T) = f^{-1}(S) \cap f^{-1}(T)\)

Ejercicio 13
Sea \(f\) una función de \(A\) en \(B\). Sea \(S\) un subconjunto de \(B\). Muestre que \(f^{-1}(S^c) = (f^{-1}(S))^c\).

Ejercicio 14
Demuestre que si \(x\) es un número real, entonces \(\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 1\) si \(x\) no es entero y \(0\) si \(x\) es un número entero.

Ejercicio 15
Demuestre que si \(x\) es un número real y \(m\) un entero, entonces \(\lceil x + m \rceil = \lceil x \rceil + m\).

Ejercicio 16
Demuestre que si \(n\) es un número entero, entonces \(\lfloor n/2 \rfloor = n/2\) si \(n\) es par y \((n - 1)/2\) si \(n\) es impar.

Ejercicio 17
Demuestre que si \(x\) es un número real, entonces \(\lfloor -x \rfloor = -\lceil x \rceil\) y \(\lceil -x \rceil = -\lfloor x \rfloor\)