# Ejercicios Funciones

**Ejercicio 1**  
Calcule estos valores:

1. $\lfloor 1.1 \rfloor$  
2. $\lceil 1.1 \rceil$  
3. $\lfloor -0.1 \rfloor$  
4. $\lceil -0.1 \rceil$  
5. $\lceil 2.99 \rceil$  
6. $\lceil -2.99 \rceil$  
7. $\left\lfloor \frac{1}{2} + \lceil \frac{1}{2} \rceil \right\rfloor$  
8. $\left\lceil \lfloor \frac{1}{2} \rfloor + \lceil \frac{1}{2} \rceil + \frac{1}{2} \right\rceil$

**Ejercicio 2**  
Calcule estos valores:

1. $\lceil \frac{3}{4} \rceil$  
2. $\lfloor \frac{7}{8} \rfloor$  
3. $\lceil -\frac{3}{4} \rceil$  
4. $\lfloor -\frac{7}{8} \rfloor$  
5. $\lceil 3 \rceil$  
6. $\lfloor -1 \rfloor$  
7. $\left\lfloor \frac{1}{2} + \lceil \frac{3}{2} \rceil \right\rfloor$  
8. $\left\lfloor \frac{1}{2} \cdot \lfloor \frac{5}{2} \rfloor \right\rfloor$

**Ejercicio 3**  
Sea $S = \{-1, 0, 2, 4, 7\}$. Halle $f(S)$ si:

1. $f(x) = 1$  
2. $f(x) = 2x + 1$  
3. $f(x) = \left\lceil \frac{x}{5} \right\rceil$  
4. $f(x) = \left\lfloor \frac{x^2 + 1}{3} \right\rfloor$

**Ejercicio 4**  
Sea $f(x) = \left\lfloor \frac{x^2}{3} \right\rfloor$. Halle $f(S)$ si:

1. $S = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$  
2. $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$  
3. $S = \{1, 5, 7, 11\}$  
4. $S = \{2, 6, 10, 14\}$

**Ejercicio 5**  
Sea $f(x) = 2x$. ¿Cuáles son?

1. $f(\mathbb{Z})$  
2. $f(\mathbb{N})$  
3. $f(\mathbb{R})$

**Ejercicio 6**  
Suponga que $g$ es una función de $A$ en $B$ y $f$ es una función de $B$ en $C$.

1. Demuestre que si tanto $f$ como $g$ son funciones inyectivas entonces $f \circ g$ también lo es.  
2. Demuestre que si tanto $f$ como $g$ son funciones sobreyectivas, entonces $f \circ g$ también lo es.

**Ejercicio 7**  
Demuestre que si $f \circ g$ es inyectiva entonces $g$ es inyectiva.

**Ejercicio 8**  
Calcule $f \circ g$ y $g \circ f$ donde $f(x) = x^2 + 1$ y $g(x) = x + 2$ son funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$.

**Ejercicio 9**  
Sean $f(x) = ax + b$ y $g(x) = cx + d$, donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son constantes. Determine para qué valores se cumple que $f \circ g = g \circ f$.

**Ejercicio 10**  
Demuestre que la función $f(x) = ax + b$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ es invertible, donde $a \ne 0$, y halle la función inversa de $f$.

**Ejercicio 11**  
Sea $f$ la función del conjunto $A$ en el conjunto $B$. Sean $S$ y $T$ subconjuntos de $A$. Demuestre que:

1. $f(S \cup T) = f(S) \cup f(T)$  
2. $f(S \cap T) \subseteq f(S) \cap f(T)$

**Ejercicio 12**  
Sea $f$ una función de $A$ en $B$, y sean $S$ y $T$ subconjuntos de $B$. Demuestre que:

1. $f^{-1}(S \cup T) = f^{-1}(S) \cup f^{-1}(T)$  
2. $f^{-1}(S \cap T) = f^{-1}(S) \cap f^{-1}(T)$

**Ejercicio 13**  
Sea $f$ una función de $A$ en $B$. Sea $S$ un subconjunto de $B$. Muestre que $f^{-1}(S^c) = (f^{-1}(S))^c$.

**Ejercicio 14**  
Demuestre que si $x$ es un número real, entonces $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = 1$ si $x$ no es entero y $0$ si $x$ es un número entero.

**Ejercicio 15**  
Demuestre que si $x$ es un número real y $m$ un entero, entonces $\lceil x + m \rceil = \lceil x \rceil + m$.

**Ejercicio 16**  
Demuestre que si $n$ es un número entero, entonces $\lfloor n/2 \rfloor = n/2$ si $n$ es par y $(n - 1)/2$ si $n$ es impar.

**Ejercicio 17**  
Demuestre que si $x$ es un número real, entonces $\lfloor -x \rfloor = -\lceil x \rceil$ y $\lceil -x \rceil = -\lfloor x \rfloor$