Funciones

Funciones#

¿Qué es una función?

Definición:
Sean \(A\) y \(B\) conjuntos. Una función \(f\) de \(A\) en \(B\) es una asignación de exactamente un elemento de \(B\) a cada elemento de \(A\). Escribimos \(f(a) = b\) si \(b\) es el único elemento de \(B\) asignado por la función \(f\) al elemento \(a\) de \(A\). Si \(f\) es una función de \(A\) en \(B\), escribimos:

\[ f : A \rightarrow B \]

función1

¿Qué es el dominio y el codominio de una función?

Definición:
Si \(f\) es una función de \(A\) en \(B\), entonces:

  • \(A\) es el dominio de \(f\).

  • \(B\) es el codominio de \(f\).

¿Qué es la imagen y la preimagen de una función?

Definición:
Si \(f(a) = b\), entonces:

  • \(b\) es la imagen de \(a\).

  • \(a\) es una preimagen de \(b\).

¿Qué es el rango o imagen de una función?

Definición:
El rango o imagen de \(f\) es el conjunto de todas las imágenes de elementos de \(A\).

Ejemplo:
Sea \(G\) la función que asigna una letra a una persona.

función2

  • El dominio de \(G\) es:
    \( \{ \text{Adams, Chou, Goodfriend, Rodríguez, Stevens} \} \)

  • El codominio de \(G\) es:
    \( \{ A, B, C, D, F \} \)

  • La imagen de \(G\) es:
    \( \{ A, B, C, F \} \)

Operaciones con funciones reales#

Suma y multiplicación de funciones

Definición:
Sean \(f_1\) y \(f_2\) funciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\). Entonces, \(f_1 + f_2\) y \(f_1 f_2\) también son funciones de \(A\) en \(\mathbb{R}\) definidas por:

\[ (f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) \]
\[ (f_1 f_2)(x) = f_1(x) \cdot f_2(x) \]

Ejemplo:

Sean \(f_1(x) = x^2\) y \(f_2(x) = x - x^2\). ¿Cuáles son \(f_1 + f_2\) y \(f_1 f_2\)?

Solución:

\[ (f_1 + f_2)(x) = x^2 + (x - x^2) = x \]
\[ (f_1 f_2)(x) = x^2 (x - x^2) = x^3 - x^4 \]

Imagen de un subconjunto#

Imagen de un subconjunto del dominio

Definición:
Sea \(f : A \rightarrow B\) una función, y sea \(S \subseteq A\). La imagen de \(S\) es el subconjunto de \(B\) formado por todas las imágenes de los elementos de \(S\):

\[ f(S) = \{ f(s) \mid s \in S \} \]

Ejemplo:
Sean:

  • \(A = \{ a, b, c, d, e \} \)

  • \(B = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)

Definimos \(f\) como:

\[ f(a) = 2,\quad f(b) = 1,\quad f(c) = 4,\quad f(d) = 1,\quad f(e) = 1 \]

Sea \(S = \{ b, c, d \} \). ¿Cuál es \(f(S)\)?

Solución:

\[ f(S) = \{ 1, 4 \} \]
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