Fundamentos de Conjuntos

Fundamentos de Conjuntos#

Conjunto#

Definición:

Es una colección desordenada de objetos.

Ejemplos:

  • \(V = \{a,e,i,o,u\}\), el conjunto de las vocales.

  • \(\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\}\), el conjunto de los números naturales.

  • \(\mathbb{Z} = \{ \dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}\), el conjunto de los números enteros.

Elemento de un conjunto#

Definición:
Los objetos de un conjunto se llaman también elementos o miembros del conjunto. Se dice que un conjunto contiene a sus elementos. Cuando un objeto es un elemento de un conjunto, se dice que pertenece a dicho conjunto.

Ejemplos:

  • \(a \in \{ a,e,i,o,u \}\),

  • \(-1 \notin \mathbb{N}\)

  • \(0 \in \mathbb{Z}\)

Representacion de conjuntos#

Se puede representar por extensión o por comprensión.

Ejemplos:

  • Por extensión:
    \(a \in \{ a,e,i,o,u \}\)

  • Por comprensión:
    \(\{ x \mid x \text{ es una vocal} \}\)

Igualdad entre conjuntos#

Definición:
Dos conjuntos \(A\) y \(B\) son iguales si, y sólo si, tienen los mismos elementos.

Axioma de extensionalidad:
Si todo elemento de \(A\) pertenece a \(B\) y todo elemento de \(B\) pertenece a \(A\), entonces los conjuntos son iguales. Escribimos:
\(A = B\)

Ejemplos:

  • \(\{1,2,3\} = \{3,2,1\}\)

  • \(\{1,2,3\} = \{1,1,1,1,2,2,2,3,3\}\)

Nota: Para probar que dos conjuntos son iguales, se debe demostrar que:
\(A \subseteq B\) y \(B \subseteq A\)

Diagrama de Venn#

Definición:
Representación gráfica de conjuntos.

Ejemplo:

Diagrama de Venn

Relación de inclusión#

Definición:
Se dice que el conjunto \(A\) es subconjunto de \(B\), denotado por \(A \subseteq B\), si todo elemento de \(A\) es elemento de \(B\).

Ejemplos:

  • \(\{ e,u \} \subseteq \{ a,e,i,o,u \}\)

  • \(\{ -1,0,1 \} \subseteq \mathbb{Z}\)

Conjunto vacío#

Definición:
En ocasiones, existen en matemáticas conjuntos que carecen de elementos. A este conjunto se le denomina Conjunto vacío. Se puede simbolizar como $\(\{\}\)\( o \)\(\emptyset\)$.

La existencia de este conjunto se establece como un axioma.

Axioma del conjunto vacío:
Existe un conjunto que no tiene elementos.

Subconjuntos#

Teorema:
Para cualquier conjunto \(S\) se cumple:

  • \(\emptyset \subseteq S\)

  • \(S \subseteq S\)

Cardinalidad#

Definición:
El número de elementos distintos de un conjunto \(A\) se denomina Cardinalidad de \(A\). Se simboliza como \(\#(A)\), \(Car(A)\) o \(|A|\).

Ejemplos:

  • \(| \{ a,e,i,o,u \} | = 5\)

  • \(| \{ x \mid x \text{ es un dígito} \} | = 10\)

  • \(|\emptyset| = 0\)

Definición adicional:
Un conjunto finito es un conjunto con una cantidad finita de elementos. De lo contrario, se denomina conjunto infinito.

Ejercicios#

Demostraciones Conjuntos

Contents