# Fundamentos de Conjuntos

## Conjunto

**Definición:** 

Es una colección desordenada de objetos.
 
**Ejemplos:**  
- $V = \{a,e,i,o,u\}$, el conjunto de las vocales.
- $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\dots\}$, el conjunto de los números naturales.
- $\mathbb{Z} = \{ \dots, -3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}$, el conjunto de los números enteros.


## Elemento de un conjunto

**Definición:**  
Los objetos de un conjunto se llaman también *elementos* o *miembros* del conjunto. Se dice que un conjunto contiene a sus elementos. Cuando un objeto es un elemento de un conjunto, se dice que **pertenece** a dicho conjunto.

**Ejemplos:**  
- $a \in \{ a,e,i,o,u \}$,
-	$-1 \notin \mathbb{N}$ 
-	$0 \in \mathbb{Z}$

## Representacion de conjuntos

Se puede representar por **extensión** o por **comprensión**.

**Ejemplos:**  
- **Por extensión:**  
$a \in \{ a,e,i,o,u \}$


- **Por comprensión:**  
$\{ x \mid x \text{ es una vocal} \}$



## Igualdad entre conjuntos

**Definición:**  
Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si, y sólo si, tienen los mismos elementos.

**Axioma de extensionalidad:**  
Si todo elemento de $A$ pertenece a $B$ y todo elemento de $B$ pertenece a $A$, entonces los conjuntos son iguales. Escribimos:  
$A = B$

**Ejemplos:**  
- $\{1,2,3\} = \{3,2,1\}$  
- $\{1,2,3\} = \{1,1,1,1,2,2,2,3,3\}$

**Nota:** Para probar que dos conjuntos son iguales, se debe demostrar que:  
$A \subseteq B$ y $B \subseteq A$

## Diagrama de Venn

**Definición:**  
Representación gráfica de conjuntos.

**Ejemplo:**  

![Diagrama de Venn](/2_Conjuntos_Funciones/1_Conjuntos/Images/venn-numbers.png)

## Relación de inclusión

**Definición:**  
Se dice que el conjunto $A$ es subconjunto de $B$, denotado por $A \subseteq B$, si todo elemento de $A$ es elemento de $B$.

**Ejemplos:**  
- $\{ e,u \} \subseteq \{ a,e,i,o,u \}$  
- $\{ -1,0,1 \} \subseteq \mathbb{Z}$

## Conjunto vacío

**Definición:**  
En ocasiones, existen en matemáticas conjuntos que carecen de elementos. A este conjunto se le denomina **Conjunto vacío**. Se puede simbolizar como $$\{\}$$ o $$\emptyset$$.

La existencia de este conjunto se establece como un axioma.

**Axioma del conjunto vacío:**  
Existe un conjunto que no tiene elementos.

## Subconjuntos

**Teorema:**  
Para cualquier conjunto $S$ se cumple:
- $\emptyset \subseteq S$  
- $S \subseteq S$

## Cardinalidad 

**Definición:**  
El número de elementos distintos de un conjunto $A$ se denomina **Cardinalidad** de $A$. Se simboliza como $\#(A)$, $Car(A)$ o $|A|$.

**Ejemplos:**  
- $| \{ a,e,i,o,u \} | = 5$  
- $| \{ x \mid x \text{ es un dígito} \} | = 10$  
- $|\emptyset| = 0$

**Definición adicional:**  
Un conjunto **finito** es un conjunto con una cantidad finita de elementos. De lo contrario, se denomina conjunto **infinito**.

# Ejercicios

[Demostraciones Conjuntos](/2_Conjuntos_Funciones/1_Conjuntos/CyEDSesió4-Ejercicios.pdf)